Cálculo Numérico

Buenas a todos.

Este fin de semana no puedo ponerme seriamente con el proyecto, hay exámenes de otras asignaturas y eso es lo primero. No obstante, ¿acaso estudiar las asignaturas no es parte del proyecto?

Durante este fin de semana y principios de la siguiente remataré el primer bloque de la asignatura Cálculo Numérico I. Aquí nos estamos dedicando a resolver ecuaciones no lineales, es decir, ese tipo de ecuaciones de las que no tenemos una fórmula tan fácil y bonita como la de la ecuación de segundo grado. Resolvemos por ejemplo cosas del tipo:
$$e^x-3x=0$$
¿No tan fácil no? O sí...

Para resolver este tipo de ecuaciones tenemos varios métodos, entre ellos el Método de Aproximaciones Sucesivas (MAS) o el Método de Newton (MN). La idea es que vamos a crear una ecuación de punto fijo (EPF) de manera que transformamos la anterior ecuación y la ponemos como $x=g(x)$, por ejemplo:
$$x=g_1(x)=\frac{e^x}{3}, x=g_2(x)=log(3x)$$
No parece más simple, pero hemos ganado algo. Ahora podemos generar una sucesión de términos que, teniendo en cuenta que las funciones $g$ cumplan ciertas condiciones, convergen a la solución.

¿Cómo se suele hacer esto?

Lo más fácil es derivar la función para ver cómo y cuándo crece o decrece. Esto junto al teorema de Bolzano nos sirven para acotar tanto como queramos la solución (Método de Bisección). Pero esto es lento computacionalmente.

El MAS es algo mejor porque tú le das un punto inicial y calcula el siguiente en función de él dando valores a la función $g$, ahí es clave que la EPF que pongamos converja. Bueno con éste método nos salen unas fórmulas preciosas para el error y tal, pero podemos mejorar y lo sabéis.

El MN es más bonito, porque el tío te coge tu función en un intervalo y le va calculando la tangente (derivando claro, es importante que sea de signo constante la derivada y no nulo) y va viendo el punto de corte de la tangente con el eje, acota el intervalo, reiteramos y vamos acercándonos muy rápido al punto de corte, que es la solución (tiene convergencia de orden 2 mientras los anteriores como máximo 1)
$$\large{\begin{equation}
\begin{cases}
x_0\in[a,b]\\x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
\end{cases}
\end{equation}}$$
Mis queridos amigos la cosa es mejor incluso, porque como todo esto lo podemos montar en MatLab pues nos montamos un método que se aproxime por la derecha del punto con un método y por la izquierda con otro, y eso corre que no es normal.

Todo esto es dicho muy a la ligera y mientras me tomo el cola cao, pero tiene sus teoremas, sus demostraciones y sus ejercicios, pero como tampoco quiero extenderme y me tengo que poner a estudiar, aquí nos quedamos, va bien y la cosa marcha.


Ab